Question

[Phạm Minh Tuấn]

Giải bài toán hình Cho (O;R) hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau .M là điểm bất kì nằm trên đường kính AB(M khác O ),đường thẳng CM cắt (O) tại điểm thứ hai N , đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến Nx tại P . Chứng minh rằng a Tứ giác OMNP nội tiếp b Tứ giác CMPO là hình bình hành c CM*CN không phụ thuộc vào vị trí của M d Khi M di động thì P chạy trên đoạn thẳng cố định

Answer 1

[NGUYỄN THẾ HIỆP]

Tự vẽ hình:

a) ta có: Nx là tiếp tuyến => \(\widehat{PNO}=90\)

d\(⊥\)AB=> \(\widehat{OMP}=90\)

=> tứ giác OMNP nội tiếp

b) Ta có: CO II MP ( cùng vuông góc với AB)

Tứ giác OMNP nội tiếp => \(\widehat{OPM}=\widehat{ONM}\) (1)

 Tam giác cân OCN ( OC=ON=R) có: \(\widehat{OCN}=\widehat{ONM}\) (2)

Từ (1), (2) => \(\widehat{OPM}=\widehat{OCM}\)(**)

Từ (*), (**) => OCMP là hình bình hành

c) Xét \(\Delta OCN\)là tam giác cân

và \(\Delta MCD\)là tam giác cân ( do C,D đối xứng nhau qua AB) có chung góc C

=> \(\Delta OCN\)đồng dạng \(\Delta MCD\)

=>\(\frac{CN}{CD}=\frac{OC}{CM}\Rightarrow CN.CM=OC.CD=2R^2=const\)

Vậy CN.CM không đổi (ĐPCM)